1935年にアインシュタイン，ポドルスキー，ローゼンは後にEPRパラドックスと呼ばれる課題を提起し，量子力学の不完全性を主張した。
もとの論文は運動量と位置の測定に関する議論だが，今ではそれと等価な物理系としてスピン（または光子の偏極）を用いた議論が一般的である。
(実は等価ではない。位置と運動量の交換関係は$\left[ \hat{x},{{{\hat{p}}}_{x}} \right]=i\hbar $で定数，スピンは
$\left[ {{{\hat{s}}}_{x}},{{{\hat{s}}}_{y}} \right]=i\hbar {{\hat{s}}_{z}}$
なので不確定債関係が異なる。これは後で述べる不確定性関係の議論に大きく影響する。)
スピン1/2の同種粒子2つが合成スピン0の状態
$\left| \varphi \right\rangle$
にあったとする。この状態がスピン1/2の粒子崩壊したとき2つの粒子の状態は
$$\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right)$$
となる。
${{\left| \pm 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| \mp 1 \right\rangle }_{2}}$
は1番目，2番目の粒子のスピン上向き，下向きの状態を表す。以後1番目，2番目を表す符号は省略する。この状態で1番目のスピンを測定して上向き（下向き）の場合，
2番目の粒子は必ず下向き（上向き）となり，一方の粒子のスピンの方向を測定すると他方のスピンの方向を知ることができる。このような状態を量子もつれ状態（entangled state）と言う。
今量子化軸を$z$軸にとったとする。
1番目の粒子のスピンに関する測定は2番目の粒子に何の影響も及ぼしていない。それにも関わらす2番目のスピンが確定している。
アインシュタインはこれは2番目のスピンは観測にかかわらず確定している，すなわち実在していると主張した。
さらに1番目の粒子の測定が2番目の粒子に直ぐ（光速を超えて情報が伝わって直ち）には影響しない局所性を仮定する。
光速を超えて情報が伝わると因果律を破るので局所性は物理の基本的要請である。このように局所性をもった実在論を局所実在論という。
ところで$\left| \varphi \right\rangle$
はスピン0の状態だったので回転対称であり，同じことを90°ずれた$x$軸方向議論しても同じことになるはずである。
つまり$x$軸方向においても2番目の粒子のスピンは1番目の粒子の測定に影響されず確定している。すなわち実在している。
すると，
2番目の粒子では$z$軸方向と$x$軸方向のスピンが同時に確定していることになり，これは不確定性原理に反する。よって量子力学は不完全な議論である。
これがEPRパラドックスと呼ばれるものである。この問題提起は量子力学に対して大きな課題をつきつけ，それが解決したといえるのは1980年代になってからである。
2022年のノーベル物理学賞はこれに寄与した研究に対して授与された。
スピン相関
まず問題の設定を行う。量子科学では2つ（2カ所）での観測者をアリス（$A$ ），ボブ（$B$）という名称を用いる習慣がある。
アリスはスピンを任意の方向角$\theta$で測定する。$\theta=0$は$z$軸方向$\theta=\pi /2$は$x$軸方向と考えるとよい。
これを$A(\theta)$と表そう。ボブ側も同様に角度$\phi$の測定を$B(\phi)$と表す。
量子力学では測定は演算子で表される。
これを表すときは$\hat A(\theta)$, $\hat B(\phi)$ とかく。
状態$\left| \varphi \right\rangle$に対して，アリス，ボブの測定はそれぞれ
\begin{align}
& \hat{A}(\theta )\left| \varphi \right\rangle \nonumber \\
& \hat{B}(\varphi )\left| \varphi \right\rangle \nonumber \\
\end{align}
ボブとアリスの連続測定は
$$\hat{A}(\theta )\hat{B}(\varphi )\left| \varphi \right\rangle $$
である。
古典的な角度相関
量子論では，物理量は確率的にしか分からない。
それに対する古典論（実在論）の記述を考える。実在論では，物理量は定まっているのだから，それが測定毎にばらつく現象は確率的な変動と考える。
観測者の知らない変数$\lambda$（隠れた変数：hidden variable)
が存在し観測量はそれに依存すると考える。
このときアリスの測定量は角度$\theta$と変数$\lambda$に依存して$a(\theta,\phi)$ と書くことができるだろう。
スピンの上向き，下向きに対応して， $-1\le a(\theta ,\lambda )\le 1$である
($a(\theta ,\lambda )=\pm 1$をより一般化した状況を考えている）。
このとき$\lambda$に依存する確率密度関数を$P(\lambda$)とすると，アリス側で観測されるスピンの平均は
$$\left\langle A(\theta ) \right\rangle =\int{P(\lambda )a(\theta ,\lambda )d\lambda }$$
同様に，ボブ側，連続測定の平均値は
\begin{align}
& \left\langle B(\phi ) \right\rangle =\int{P(\lambda )b(\phi ,\lambda )d\lambda } \nonumber \\
& \left\langle A(\theta )B(\phi ) \right\rangle =\int{P(\lambda )a(\theta ,\lambda )b(\phi ,\lambda )d\lambda } \nonumber
\end{align}
である。
局所実在論を仮定すると一般的にこのように表現することができる。
ベルの不等式
連続測定（または相関という）$\left\langle A(\theta )B(\phi ) \right\rangle =\int{P(\lambda )a(\theta ,\lambda )b(\phi ,\lambda )d\lambda }$
を考えると$\theta, \phi$という二つの角度あるので，その組み合わせとして4通り，
$\left\langle A(\theta )B(\phi ) \right\rangle ,\ \left\langle A({\theta }')B(\phi ) \right\rangle ,\ \left\langle A(\theta )B({\phi }') \right\rangle ,\ \left\langle A({\theta }')B({\phi }') \right\rangle$
が考えられる。この組み合わせをつかって
$$C=\left\langle A(\theta )B(\phi ) \right\rangle +\ \left\langle A({\theta }')B(\phi ) \right\rangle -\left\langle A(\theta )B({\phi }') \right\rangle +\left\langle A({\theta }')B({\phi }') \right\rangle $$
を定義する。証明は省略するが（たとえば，清水明，新版粒子論の基礎8章）$-2\le C\le 2$を示すことができる。これがベルの不等式の一つCHSH不等式である。
ベルの不等式の量子論による考察
演算子のスペクトル分解
ベルの不等式を量子論によって考察するが，その前に演算子について準備する。
$\hat A$ をエルミート演算子し，その固有ベクトルを$\left| a \right\rangle $とすると
$\hat{A}=\sum\limits_{a}{\left| a \right\rangle \left\langle a \right|\hat{A}\left| a \right\rangle \left\langle a \right|}=\sum\limits_{a}{\left\langle a \right|\hat{A}\left| a \right\rangle \left| a \right\rangle \left\langle a \right|}=a\left| a \right\rangle \left\langle a \right|$
（$\because \sum\limits_{a}{\left| a \right\rangle \left\langle a \right|}=1$）
と表すことができる。これを演算子のスペクトル分解という。
スピン測定演算子の具体的表現
アリスがスピンを$\theta$ 方向で測る演算子$\hat A(\theta)$ のスペクトル分解を求めるため，まずアリスの任意の状態を考察する。
$\theta =0$のときは，$\left| 1,b \right\rangle =\left| 1 \right\rangle \left| b \right\rangle$
（$b=\pm 1$：ボブ側のスピンの方向）または，$\left| -1,b \right\rangle =\left| -1 \right\rangle \left| b \right\rangle$ である。
これを$y$軸のまわりに$\theta$回転する。
\begin{align}
& {{e}^{\frac{i}{\hbar }\theta {{{\hat{J}}}_{y}}}}=I+\frac{i}{\hbar }\theta {{{\hat{J}}}_{y}}+\frac{1}{2}{{\left( \frac{i}{\hbar }\theta {{{\hat{J}}}_{y}} \right)}^{2}}+,,,+\frac{1}{n!}{{\left( \frac{i}{\hbar }\theta {{{\hat{J}}}_{y}} \right)}^{n}}+,,, \nonumber \\
& =\left( \cos \frac{\theta }{2}I+i\sin \frac{\theta }{2}\left( \begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{matrix} \right) \right)=\left( \begin{matrix}
\cos \frac{\theta }{2} & \sin \frac{\theta }{2} \\
-\sin \frac{\theta }{2} & \cos \frac{\theta }{2} \\
\end{matrix} \right) \nonumber
\end{align}
を使って，
\begin{align}
& \left( \begin{matrix}
\left| +\theta ,b \right\rangle \\
\left| -\theta ,b \right\rangle \\
\end{matrix} \right)={{e}^{\frac{i}{\hbar }\theta {{{\hat{J}}}_{y}}}}\left( \begin{matrix}
\left| +1,b \right\rangle \\
\left| -1,b \right\rangle \\
\end{matrix} \right)=\left( \cos \frac{\theta }{2}I+i\sin \frac{\theta }{2}\left( \begin{matrix}
0 & -i \\
i & 0 \\
\end{matrix} \right) \right)\left( \begin{matrix}
\left| +1,b \right\rangle \\
\left| -1,b \right\rangle \\
\end{matrix} \right) \nonumber \\
& =\left( \begin{matrix}
\cos \frac{\theta }{2} & \sin \frac{\theta }{2} \\
-\sin \frac{\theta }{2} & \cos \frac{\theta }{2} \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\left| +1,b \right\rangle \\
\left| -1,b \right\rangle \\
\end{matrix} \right) \nonumber
\end{align}
よって，
\begin{align}
& \left| +\theta ,b \right\rangle =\cos \frac{\theta }{2}\left| +1,b \right\rangle +\sin \frac{\theta }{2}\left| -1,b \right\rangle \nonumber \\
& \left| -\theta ,b \right\rangle =-\sin \frac{\theta }{2}\left| +1,b \right\rangle +\cos \frac{\theta }{2}\left| -1,b \right\rangle \nonumber \\
\end{align}
アリスがスピンを$\theta$方向で測る演算子$\hat A(\theta)$ はこれを使って
\begin{align}
& \hat{A}(\theta )=\sum\limits_{b}{\left( \left| +\theta ,b \right\rangle \left\langle +\theta ,b \right|-\left| -\theta ,b \right\rangle \left\langle -\theta ,b \right| \right)} \nonumber \\
& =\cos \theta \sum\limits_{b}{\left( \left| 1,b \right\rangle \left\langle 1,b \right|-\left| -1,b \right\rangle \left\langle -1,b \right| \right)}+\sin \theta \sum\limits_{b}{\left( \left| 1,b \right\rangle \left\langle -1,b \right|+\left| -1,b \right\rangle \left\langle 1,b \right| \right)}
\end{align}
と表すことができる。
行列で表すと$\left| \varphi \right\rangle$ の基底は
$\left( \begin{matrix}
\left| 1,1 \right\rangle \\
\ \,\left| 1,-1 \right\rangle \\
\,\ \left| -1,1 \right\rangle \\
\left| -1,-1 \right\rangle \\
\end{matrix} \right)$
と書くことができる。
この表示で演算子は
$$\left( \begin{matrix}
\left| 1,1 \right\rangle \left\langle 1,1 \right| & \left| 1,1 \right\rangle \left\langle 1,-1 \right| & \left| 1,1 \right\rangle \left\langle -1,1 \right| & \left| 1,1 \right\rangle \left\langle -1,-1 \right| \\
\left| 1,-1 \right\rangle \left\langle 1,1 \right| & \left| 1,-1 \right\rangle \left\langle 1,-1 \right| & \left| 1,-1 \right\rangle \left\langle -1,1 \right| & \left| 1,-1 \right\rangle \left\langle -1,-1 \right| \\
\left| -1,1 \right\rangle \left\langle 1,1 \right| & \left| -1,1 \right\rangle \left\langle 1,-1 \right| & \left| -1,1 \right\rangle \left\langle -1,1 \right| & \left| -1,1 \right\rangle \left\langle -1,-1 \right| \\
\left| -1,-1 \right\rangle \left\langle 1,1 \right| & \left| -1,-1 \right\rangle \left\langle 1,-1 \right| & \left| -1,-1 \right\rangle \left\langle -1,1 \right| & \left| -1,-1 \right\rangle \left\langle -1,-1 \right| \\
\end{matrix} \right)$$
なので，
$$\hat{A}(\theta )=\left( \begin{matrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\
\sin \theta & 0 & -\cos \theta & 0 \\
0 & \sin \theta & 0 & -\cos \theta \\
\end{matrix} \right)$$
である。実際の計算はこれを使う方が便利である。
同様にボブがスピンを$\phi$ 方向で測る演算子$\hat B(\phi)$ は
\begin{align}
& \left| a,+\phi \right\rangle =\cos \frac{\phi }{2}\left| a,+1 \right\rangle +\sin \frac{\phi }{2}\left| a,-1 \right\rangle \nonumber \\
& \left| a,-\phi \right\rangle =-\sin \frac{\phi }{2}\left| a,+1 \right\rangle +\cos \frac{\phi }{2}\left| a,+1 \right\rangle \nonumber \\
\end{align}
\begin{align}
& \hat{B}(\phi )=\sum\limits_{a}{\left( \left| a,+\phi \right\rangle \left\langle a,+\phi \right|-\left| a,-\phi \right\rangle \left\langle a,-\phi \right| \right)} \nonumber \\
& =\cos \phi \sum\limits_{a}{\left( \left| a,1 \right\rangle \left\langle a,1 \right|-\left| a,-1 \right\rangle \left\langle a,-1 \right| \right)}+\sin \phi \sum\limits_{a}{\left( \left| a,1 \right\rangle \left\langle a,-1 \right|+\left| a,-1 \right\rangle \left\langle a,1 \right| \right)} \nonumber
\end{align}
$$\hat{B}(\phi )=\left( \begin{matrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0 & 0 \\
\sin \phi & -\cos \phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos \phi & \sin \phi \\
0 & 0 & \sin \phi & -\cos \phi \\
\end{matrix} \right)$$
となる。
ベルの不等式の量子論による計算
ボブが$\phi$方向，アリスが$\theta$方向を測る演算子を$\hat C(\theta,\phi)$とすると
\[\begin{align}
& \hat{C}(\theta ,\phi )=\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ) \nonumber \\
& =\left( \begin{matrix}
\cos \theta & 0 & \sin \theta & 0 \\
0 & \cos \theta & 0 & \sin \theta \\
\sin \theta & 0 & -\cos \theta & 0 \\
0 & \sin \theta & 0 & -\cos \theta \\
\end{matrix} \right)\left( \begin{matrix}
\cos \phi & \sin \phi & 0 & 0 \\
\sin \phi & -\cos \phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cos \phi & \sin \phi \\
0 & 0 & \sin \phi & -\cos \phi \\
\end{matrix} \right) \nonumber \\
& =\left( \begin{matrix}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \sin \theta & \sin \theta \sin \phi \\
\cos \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \sin \theta \\
\cos \phi \sin \theta & \sin \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & -\cos \phi \sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \sin \theta & -\cos \phi \sin \phi & \cos \theta \cos \phi \\
\end{matrix} \right) \nonumber
\end{align}\]
である。これを状態$\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| 1,-1 \right\rangle -\left| -1,1 \right\rangle \right)$に作用させる。
\begin{align}
& \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle =\left( \begin{matrix}
\cos \theta \cos \phi & \cos \theta \sin \phi & \cos \phi \sin \theta & \sin \theta \sin \phi \\
\cos \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & \sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \sin \theta \\
\cos \phi \sin \theta & \sin \theta \sin \phi & -\cos \theta \cos \phi & -\cos \phi \sin \phi \\
\sin \theta \sin \phi & -\cos \phi \sin \theta & -\cos \phi \sin \phi & \cos \theta \cos \phi \\
\end{matrix} \right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix}
0 \\
1 \\
-1 \\
0 \\
\end{matrix} \right) \nonumber \\
& =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix}
-\sin (\theta -\phi ) \\
-\cos (\theta -\phi ) \\
\cos (\theta -\phi ) \\
-\sin (\theta -\phi ) \\
\end{matrix} \right) \nonumber
\end{align}
となる。$\theta - \phi = 0$つまり月と地球で同じ方向の測定を行う場合$\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle =-\left| \varphi \right\rangle $
である。このとき$\left| \varphi \right\rangle $は$\left| \varphi \right\rangle $
の固有関数であり固有値は$-1$ 。これはボブがスピンを測定すればアリス側では必ず反対方向のスピンが観測されることを意味する。
一般の場合のボブ，アリスのスピン連続測定（相関）の平均値は
\begin{align}
& \left\langle \varphi \right|\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( 0,1,-1,0 \right)\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \begin{matrix}
-\sin (\theta -\phi ) \\
-\cos (\theta -\phi ) \\
\cos (\theta -\phi ) \\
-\sin (\theta -\phi ) \\
\end{matrix} \right) \nonumber \\
& =-\cos \theta \cos \phi -\sin \theta \sin \phi =-\cos (\theta -\phi ) \nonumber
\end{align}
結果はアリスとボブの角度差だけに依存している。このことはスピン0の状態の回転対称性を反映している。
$\left\langle \varphi \right|\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle =-\cos (\theta -\phi )$
を用いてベルの不等式を表すと
\begin{align}
& {{C}_{Quantum}}=\left\langle A(\theta )B(\phi ) \right\rangle +\left\langle A({\theta }')B(\phi ) \right\rangle -\left\langle A(\theta )B({\phi }') \right\rangle +\left\langle A({\theta }')B({\phi }') \right\rangle \\
& =\left\langle \varphi \right|\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle +\left\langle \varphi \right|\hat{A}({\theta }')\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle -\left\langle \varphi \right|\hat{A}(\theta )\hat{B}({\phi }')\left| \varphi \right\rangle +\left\langle \varphi \right|\hat{A}({\theta }')\hat{B}({\phi }')\left| \varphi \right\rangle \\
& =-\cos (\theta -\phi )-\cos ({\theta }'-\phi )+\cos (\theta -{\phi }')-\cos ({\theta }'-{\phi }')
\end{align}
たとえば$\theta =\frac{3\pi }{4},\ \phi =\frac{\pi }{2},\ {\theta }'=\frac{\pi }{4},\ {\varphi }'=0$のとき，${{C}_{Quantum}}=-2\sqrt{2}$
であり，古典論（隠れた変数の理論）の帰結である$-2\le C\le 2$を破っている。
古典論との違いは$\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )$の非対項（$\sin \theta ,\ \sin \phi$ の項）すなわち干渉項の有無である。
干渉項を除いた場合のベルの不等式に対応するものは
${{C}_{Classical}}=-\cos \theta \cos \phi -\cos {\theta }'\cos \phi +\cos \theta \cos {\phi }'-\cos {\theta }'\cos {\phi }'$
これは$\left| {{C}_{Classical}}\le 2 \right|$となりベルの不等式を破らない。
干渉項は$\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| 1,-1 \right\rangle -\left| -1,1 \right\rangle \right)$
の第1項と第2項の間の遷移である。パウリ行列の$x$成分は
${{\sigma }_{x}}=\left( \begin{matrix}
0 & 1 \\
1 & 0 \\
\end{matrix} \right)$
なので$x$軸方向のスピンの測定演算子
${{\hat{s}}_{x}}=\frac{1}{2}\hbar {{\sigma }_{x}}$
はスピンの$z$成分を入れ替える。これが干渉項が生じる由来であり古典的取り扱いでは出てこない。
不確定性関係の考察
連続測定$\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )$の不確定性関係に関するロバートソンの不等式は，
$$d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}d{{\left( A({\theta }')B({\phi }') \right)}^{2}}\ge \frac{{{\left| \left\langle \varphi \right|\left[ \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ),\hat{A}({\theta }')\hat{B}({\phi }') \right]\left| \varphi \right\rangle \right|}^{2}}}{4}$$
である。右辺の交換関係を計算すると
$\left[ \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ),\hat{A}({\theta }')\hat{B}({\phi }') \right] \ne 0 $だが，
$\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| 1,-1 \right\rangle -\left| -1,1 \right\rangle \right)$
について，
$\left\langle \varphi \right|\left[ \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ),\hat{A}({\theta }')\hat{B}({\phi }') \right]\left| \varphi \right\rangle =0$
を示すことができる。
したがって$d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}=0$
$d{{\left( A({\theta }')B({\phi }') \right)}^{2}}=0$
を同時に満たしても量子論には反しないことが分かる。
すなわち異なる角度の組み合わせ（たとえば$z$軸方向$\left( \theta ,\phi \right)=(0,0)$と$x$軸方向
$\left( {\theta }',{\phi }' \right)=(\pi /2,\pi /2)$ ）
で同時にアインシュタインの言う実在性があっても不確定性原理には反していない。
これは不確定性関係との無矛盾性から量子論と実在論の比較はできないことも意味している。
（このことが位置と運動量の場合と異なる，位置と運動量の交換関係は定数なので位置と運動量の連続測定の交換関係の状態による平均は$0$とならない。）
$d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}$の具体的な形を求める。
\begin{align}
& d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}=\left\langle \varphi \right|{{\left( \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )-\left\langle \varphi \right|\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle \right)}^{2}}\left| \varphi \right\rangle \nonumber \\
& =\left\langle \varphi \right|{{\left( \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ) \right)}^{2}}\left| \varphi \right\rangle -{{\left| \left\langle \varphi \right|\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\left| \varphi \right\rangle \right|}^{2}} \nonumber
\end{align}
（分散＝2乗平均―平均の2乗）
${{\left( \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ) \right)}^{2}}=\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )\hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi )=I$
となるので，第1項は$\left\langle \varphi \right|{{\left( \hat{A}(\theta )\hat{B}(\phi ) \right)}^{2}}\left| \varphi \right\rangle =1$
したがって
$$d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}=1-{{(-\cos (\theta -\phi ))}^{2}}={{\sin }^{2}}(\theta -\phi )$$
これから$\theta - \phi = 0$，すなわちアリスとボブで同じ方向を測るときは$d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}＝0$
となり，ボブ（アリス）がスピンの方向を測るとアリス（ボブ）のスピンの方向は確定する。
$\theta - \phi ~ \phi/2$ すなわち直交方向のとき$d{{\left( A(\theta )B(\phi ) \right)}^{2}}＝1$
ボブ側で上（下）であっても，アリス側では左右が同じ確率で測定され不確定性は最大となる。
