ちょっと（かなり？）専門的な話です。
2022年のノーベル物理学賞は量子論の発展に大きな寄与をしたクラウザー，アスペ，ザイリンガーの3氏が受賞した。クラウザーとアスペ氏の受賞はいわゆるEPRパラドックスに対する回答としてベルの不等式の破れを示したことだ。ベルの不等式の話はいろいろなところで見らるが，その発端となったEPRパラドックスの量子論的な解釈はあまりみない。
いわゆるEPRパラドックスの論文はPhys.Rev.47, 777(1935)に掲載された。そのなかでアインシュタイン，ポドルスキー，ローゼンは量子もつれ状態を例にして量子論が不完全であると主張している。
EPRパラドックスとは
まず，EPRパラドックスの復習。ここはアインシュタイン21世紀の物理学（日本物理学会編）第7章の清水明氏の解説を引用する。
二つの粒子1，2の状態
\begin{align} & \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \end{align}を考える。この状態に対して，粒子1の波数を測定して$k_o$だったとする。運動量は，$p_1=\hbar k_0$である。
波数の重ね合わせ状態から$k_o$が選ばれたので，測定後の波動関数は，
$$
{{\varphi }_{{{k}_{0}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})={{e}^{i{{k}_{0}}{{x}_{1}}}}{{e}^{-i{{k}_{0}}({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}
$$
となる。この状態でこの状態で粒子2の運動量を測定する。${{\hat{p}}_{2}}=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}$より
$$-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}{{\varphi }_{{{k}_{0}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})=-i\hbar \frac{\partial }{\partial x}{{e}^{i{{k}_{0}}{{x}_{1}}}}{{e}^{-i{{k}_{0}}({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}=-\hbar {{k}_{0}}{{\varphi }_{{{k}_{0}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})$$
したがって，$\varphi_{k_0} ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$は${{\hat{p}}_{2}}$の固有状態であり，運動量は$p_2=-\hbar k_0$に確定している。
つまり，粒子1のつまり粒子1の運動量を測定することによって，粒子2に影響を及ぼすことなくその運動量が確定した。アインシュタインの定義によるとこれは粒子2の運動量が実在している。
次に$\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$の位置測定を考える。
$\delta (x)=\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ikx}}dk}$とデルタ関数の公式$\delta (a-b)=\int{\delta (x-a)\delta (x-b)dx}$より，
\begin{align}
& \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}})}}dk}=\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}}) \nonumber \\
& =\int{\delta ({{x}_{2}}-(x+{{x}_{0}}))\delta ({{x}_{1}}-x)dx}
\end{align}
ここで，粒子1の位置測定をおこなって$x_m$だったとすると測定後の波動関数は，
$${{\varphi }_{{{x}_{m}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\delta ({{x}_{2}}-({{x}_{m}}+{{x}_{0}}))\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{m}})$$
この波動関数の粒子2の位置を測定すると
\begin{align}
& {{{\hat{x}}}_{2}}{{\varphi }_{{{x}_{m}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \nonumber \\
& ={{x}_{2}}{{\varphi }_{{{x}_{m}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}}) \nonumber \\
& =({{x}_{m}}+{{x}_{0}})\delta ({{x}_{2}}-({{x}_{m}}+{{x}_{0}}))\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{m}})\ \quad \because x\delta (x-{x}')={x}'\delta (x-{x}')
\end{align}
となる。$\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$は${{\hat{x}}_{2}}$ の固有状態であり，固有値は$x_m+x_0$。したがって粒子2の位置も，粒子1の位置測定することによって確定した。すなわち粒子2の位置も実在している。
これからこの状態では，粒子2の位置も運動量も確定しており，これは不確定性原理に反するというのがアインシュタインの主張である。
EPR論文では粒子1の測定後の波動関数（状態）を $${{\varphi }_{{{k}_{0}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})={{e}^{i{{k}_{0}}{{x}_{1}}}}{{e}^{-i{{k}_{0}}({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}$$ として，その状態に対して粒子2の運動量の測定を行っている。 分かりやくするため，これをスピン0の量子もつれ状態 $\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right)$ で考える。量子論におけるこの状態の粒子1に対する 方向のスピンの測定は \begin{align} & s_{z}^{1}\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( s_{z}^{1}{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-s_{z}^{1}{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \nonumber \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}+{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \end{align} である。しかしEPR論文の記述は粒子1の測定によって2つの項のうちどちらかを選択していることに対応する。第1項を選んだとすると， $${{\left| \varphi \right\rangle }_{1}}={{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$$ それに対して粒子2のスピンを測定を行うと， $$s_{z}^{2}{{\left| \varphi \right\rangle }_{1}}=s_{z}^{2}{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}=-{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$$ 量子論を正しく適用すると粒子1の測定後に粒子2を測定することは \begin{align} & s_{z}^{2}s_{z}^{1}\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}s_{z}^{2}\left( s_{z}^{1}{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-s_{z}^{1}{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}s_{z}^{2}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}+{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \nonumber \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( -{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}+{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \\ & =-\left| \varphi \right\rangle \end{align} である。量子もつれ状態$\left| \varphi \right\rangle$は連続測定演算子$s_{z}^{2}s_{z}^{1}$の固有状態であり，粒子1，2の連続測定によって粒子2のスピンは確定した値をとる。量子論の計算には ${{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$と${{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}}$の干渉項が含まれるのに対して，EPRは粒子1の測定によってもつれ状態（コヒーレンス）を壊しているのでそれが含まれない。ただし，量子論でも干渉項が測定に寄与するのは粒子1と粒子2について任意の異なる方向でスピンを測定した場合である。双方で 同じ方向の測定した場合や90°ずらした場合は量子論と古典論の違いは現れない。これを考慮して，量子論と古典論の違いを評価したのがベルの不等式である。
EPR論文のスピンモデルでは，粒子1の測定によって粒子1の観測者における状態は
${{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$または${{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}}$となる。これは間違いではない。一方で粒子2の観測者が粒子2を独立に観測すると，そこでも
${{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$または${{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}}$が選択される。
量子論の主張は粒子1と粒子2の観測は独立（光速でも情報伝達ができず因果律を破らない）で，それぞれが2つのうちどちらかの状態を得るが，それらの測定結果を付き合わせた結果は
$s_{z}^{2}s_{z}^{1}\left| \varphi \right\rangle \ \left( =s_{z}^{1}s_{z}^{2}\left| \varphi \right\rangle \right)$
と無矛盾になっていることである。
2粒子の波動関数の位置と運動量の測定の不確定性関係を，状態に対する連続測定，すなわち ${{\hat{p}}_{1}}{{\hat{p}}_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$と${{\hat{x}}_{1}}{{\hat{x}}_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$で議論する。
2粒子系のもつれ状態を$\left| \varphi \right\rangle$とし，この状態について，粒子1，2に対する位置と運動量の演算子をそれぞれ， ${{\hat{x}}_{1}},\ {{\hat{x}}_{2}},\ {{\hat{p}}_{1}},\ {{\hat{p}}_{2}}$とする。粒子1，2の測定によって粒子2の位置が確定することは， $\left| \varphi \right\rangle$が連続測定の演算子${{\hat{x}}_{2}}\ {{\hat{x}}_{1}}$の固有状態 $$ {{\hat{x}}_{2}}{{\hat{x}}_{1}}\left| \varphi \right\rangle ={{x}_{2}}({{x}_{1}})\left| \varphi \right\rangle $$ を意味する。$x_2(x_1)$は粒子1の位置の測定の関数としての粒子2の位置を表す。 （一般に$\left| \varphi \right\rangle$は${{\hat{x}}_{1}},\ {{\hat{x}}_{2}}$ の固有状態ではない。）
運動量も同様に $$ {{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}\left| \varphi \right\rangle ={{p}_{2}}({{p}_{1}})\left| \varphi \right\rangle $$ である。$\left| \varphi \right\rangle$は位置，運動量の連続測定演算子の固有状態なので， $$\delta ({{x}_{1}}{{x}_{2}})=\delta ({{p}_{1}}{{p}_{2}})=0$$ したがって ロバートソンの不確定性関係 $$ {{(\delta {{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}{{(\delta {{p}_{1}}{{p}_{2}})}^{2}}\ge \frac{{{\left| \left\langle \varphi \right|\left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle \right|}^{2}}}{4} $$ の右辺は \begin{align} & \left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle ={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}\left| \varphi \right\rangle -{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}\left| \varphi \right\rangle \nonumber \\ & ={{x}_{2}}({{x}_{1}}){{p}_{2}}({{p}_{1}})\left| \varphi \right\rangle -{{p}_{2}}({{p}_{1}}){{x}_{2}}({{x}_{1}})\left| \varphi \right\rangle \\ & =0 \end{align} となるはずである。しかし，交換関係を計算すると， [\begin{align} & \left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}} \nonumber \\ & ={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{2}} \nonumber \\ & ={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}-({{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}-i\hbar )({{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}-i\hbar ) \nonumber \\ & ={{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{2}}-{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}_{2}+i\hbar {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}+i\hbar {{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{\hbar }^{2}} \\ & =i\hbar {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}+i\hbar {{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{\hbar }^{2}} \end{align} これから， $$ \left\langle \varphi \right|\left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle =i\hbar \left\langle \varphi \right|{{\hat{x}}_{1}}{{\hat{p}}_{1}}\left| \varphi \right\rangle +i\hbar \left\langle \varphi \right|{{\hat{x}}_{2}}{{\hat{p}}_{2}}\left| \varphi \right\rangle +{{\hbar }^{2}}\left\langle \varphi \right.\left| \varphi \right\rangle $$ 第3項は$\left\langle \varphi \right|{{\hbar }^{2}}\left| \varphi \right\rangle ={{\hbar }^{2}}$ 第1，第2項は状態によるっていろいろな値ととるが，一般に $$ \left\langle \varphi \right|\left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle \ne 0 $$ は言える。位置と，運動量のもつれ状態は不確定性原理と矛盾する。
EPR論文で考察された波動関数は \begin{align} & \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \end{align} これに対して粒子1,2連続測定の運動量演算子を作用させると \begin{align} & {{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }(-i\hbar ){{{\hat{p}}}_{2}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\int{{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }(-i\hbar ){{{\hat{p}}}_{2}}\int{\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }(-i\hbar ){{{\hat{p}}}_{2}}\int{ik{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk}=\frac{1}{2\pi }\hbar {{{\hat{p}}}_{2}}\int{k{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }\hbar (-i\hbar )\frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\int{-i{{k}^{2}}{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2\pi }\int{{{k}^{2}}{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \end{align} となり$\varphi$は${{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}$の固有状態にはならない。すなわち粒子1，2の連続測定によって粒子2の運動量は確定した値を得ない。
同様の計算を位置の演算子${{\hat{x}}_{2}}{{\hat{x}}_{1}}$に対して行う。 \[\begin{align} & {{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}\int{{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & ={{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}}) \nonumber \\ & ={{x}_{2}}{{x}_{1}}\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}}) \end{align}\] $x_2x_1$は変数なので$\varphi$は${{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}$は$\varphi$は${{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}$の固有状態ではない。 したがって，量子論の立場からはEPR論文の議論は成り立たない。
量子論とEPRの考察のどちらが正しいかは実験で決めるべきこと。量子論が正しいという見地からEPR論文の問題点は以下の2つ。
量子論からみたEPR論文の問題点
EPR論文では粒子1の測定後の波動関数（状態）を $${{\varphi }_{{{k}_{0}}}}({{x}_{1}},{{x}_{2}})={{e}^{i{{k}_{0}}{{x}_{1}}}}{{e}^{-i{{k}_{0}}({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}$$ として，その状態に対して粒子2の運動量の測定を行っている。 分かりやくするため，これをスピン0の量子もつれ状態 $\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right)$ で考える。量子論におけるこの状態の粒子1に対する 方向のスピンの測定は \begin{align} & s_{z}^{1}\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( s_{z}^{1}{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-s_{z}^{1}{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \nonumber \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}+{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \end{align} である。しかしEPR論文の記述は粒子1の測定によって2つの項のうちどちらかを選択していることに対応する。第1項を選んだとすると， $${{\left| \varphi \right\rangle }_{1}}={{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$$ それに対して粒子2のスピンを測定を行うと， $$s_{z}^{2}{{\left| \varphi \right\rangle }_{1}}=s_{z}^{2}{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}=-{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$$ 量子論を正しく適用すると粒子1の測定後に粒子2を測定することは \begin{align} & s_{z}^{2}s_{z}^{1}\left| \varphi \right\rangle =\frac{1}{\sqrt{2}}s_{z}^{2}\left( s_{z}^{1}{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}-s_{z}^{1}{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right)=\frac{1}{\sqrt{2}}s_{z}^{2}\left( {{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}+{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \nonumber \\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\left( -{{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}+{{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}} \right) \\ & =-\left| \varphi \right\rangle \end{align} である。量子もつれ状態$\left| \varphi \right\rangle$は連続測定演算子$s_{z}^{2}s_{z}^{1}$の固有状態であり，粒子1，2の連続測定によって粒子2のスピンは確定した値をとる。量子論の計算には ${{\left| 1 \right\rangle }_{1}}{{\left| -1 \right\rangle }_{2}}$と${{\left| -1 \right\rangle }_{1}}{{\left| 1 \right\rangle }_{2}}$の干渉項が含まれるのに対して，EPRは粒子1の測定によってもつれ状態（コヒーレンス）を壊しているのでそれが含まれない。ただし，量子論でも干渉項が測定に寄与するのは粒子1と粒子2について任意の異なる方向でスピンを測定した場合である。双方で 同じ方向の測定した場合や90°ずらした場合は量子論と古典論の違いは現れない。これを考慮して，量子論と古典論の違いを評価したのがベルの不等式である。
連続測定と不確定性原理
2粒子の波動関数の位置と運動量の測定の不確定性関係を，状態に対する連続測定，すなわち ${{\hat{p}}_{1}}{{\hat{p}}_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$と${{\hat{x}}_{1}}{{\hat{x}}_{2}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})$で議論する。
2粒子系のもつれ状態を$\left| \varphi \right\rangle$とし，この状態について，粒子1，2に対する位置と運動量の演算子をそれぞれ， ${{\hat{x}}_{1}},\ {{\hat{x}}_{2}},\ {{\hat{p}}_{1}},\ {{\hat{p}}_{2}}$とする。粒子1，2の測定によって粒子2の位置が確定することは， $\left| \varphi \right\rangle$が連続測定の演算子${{\hat{x}}_{2}}\ {{\hat{x}}_{1}}$の固有状態 $$ {{\hat{x}}_{2}}{{\hat{x}}_{1}}\left| \varphi \right\rangle ={{x}_{2}}({{x}_{1}})\left| \varphi \right\rangle $$ を意味する。$x_2(x_1)$は粒子1の位置の測定の関数としての粒子2の位置を表す。 （一般に$\left| \varphi \right\rangle$は${{\hat{x}}_{1}},\ {{\hat{x}}_{2}}$ の固有状態ではない。）
運動量も同様に $$ {{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}\left| \varphi \right\rangle ={{p}_{2}}({{p}_{1}})\left| \varphi \right\rangle $$ である。$\left| \varphi \right\rangle$は位置，運動量の連続測定演算子の固有状態なので， $$\delta ({{x}_{1}}{{x}_{2}})=\delta ({{p}_{1}}{{p}_{2}})=0$$ したがって ロバートソンの不確定性関係 $$ {{(\delta {{x}_{1}}{{x}_{2}})}^{2}}{{(\delta {{p}_{1}}{{p}_{2}})}^{2}}\ge \frac{{{\left| \left\langle \varphi \right|\left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle \right|}^{2}}}{4} $$ の右辺は \begin{align} & \left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle ={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}\left| \varphi \right\rangle -{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}\left| \varphi \right\rangle \nonumber \\ & ={{x}_{2}}({{x}_{1}}){{p}_{2}}({{p}_{1}})\left| \varphi \right\rangle -{{p}_{2}}({{p}_{1}}){{x}_{2}}({{x}_{1}})\left| \varphi \right\rangle \\ & =0 \end{align} となるはずである。しかし，交換関係を計算すると， [\begin{align} & \left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}} \nonumber \\ & ={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}-{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{2}} \nonumber \\ & ={{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}-({{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}-i\hbar )({{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}-i\hbar ) \nonumber \\ & ={{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{2}}-{{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}_{2}+i\hbar {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}+i\hbar {{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{\hbar }^{2}} \\ & =i\hbar {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{1}}+i\hbar {{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{2}}+{{\hbar }^{2}} \end{align} これから， $$ \left\langle \varphi \right|\left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle =i\hbar \left\langle \varphi \right|{{\hat{x}}_{1}}{{\hat{p}}_{1}}\left| \varphi \right\rangle +i\hbar \left\langle \varphi \right|{{\hat{x}}_{2}}{{\hat{p}}_{2}}\left| \varphi \right\rangle +{{\hbar }^{2}}\left\langle \varphi \right.\left| \varphi \right\rangle $$ 第3項は$\left\langle \varphi \right|{{\hbar }^{2}}\left| \varphi \right\rangle ={{\hbar }^{2}}$ 第1，第2項は状態によるっていろいろな値ととるが，一般に $$ \left\langle \varphi \right|\left[ {{{\hat{x}}}_{1}}{{{\hat{x}}}_{2}},{{{\hat{p}}}_{1}}{{{\hat{p}}}_{2}} \right]\left| \varphi \right\rangle \ne 0 $$ は言える。位置と，運動量のもつれ状態は不確定性原理と矛盾する。
連続測定の観点からのEPR論文の考察
EPR論文で考察された波動関数は \begin{align} & \varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }\int{{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \end{align} これに対して粒子1,2連続測定の運動量演算子を作用させると \begin{align} & {{{\hat{p}}}_{2}}{{{\hat{p}}}_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }(-i\hbar ){{{\hat{p}}}_{2}}\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}\int{{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }(-i\hbar ){{{\hat{p}}}_{2}}\int{\frac{\partial }{\partial {{x}_{1}}}{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }(-i\hbar ){{{\hat{p}}}_{2}}\int{ik{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk}=\frac{1}{2\pi }\hbar {{{\hat{p}}}_{2}}\int{k{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =\frac{1}{2\pi }\hbar (-i\hbar )\frac{\partial }{\partial {{x}_{2}}}\int{-i{{k}^{2}}{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & =-\frac{{{\hbar }^{2}}}{2\pi }\int{{{k}^{2}}{{e}^{ik{{x}_{1}}}}{{e}^{-ik({{x}_{2}}-{{x}_{0}})}}dk} \end{align} となり$\varphi$は${{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}$の固有状態にはならない。すなわち粒子1，2の連続測定によって粒子2の運動量は確定した値を得ない。
同様の計算を位置の演算子${{\hat{x}}_{2}}{{\hat{x}}_{1}}$に対して行う。 \[\begin{align} & {{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}\varphi ({{x}_{1}},{{x}_{2}})=\frac{1}{2\pi }{{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}\int{{{e}^{ik({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}})}}dk} \nonumber \\ & ={{{\hat{x}}}_{2}}{{{\hat{x}}}_{1}}\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}}) \nonumber \\ & ={{x}_{2}}{{x}_{1}}\delta ({{x}_{1}}-{{x}_{2}}+{{x}_{0}}) \end{align}\] $x_2x_1$は変数なので$\varphi$は${{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}$は$\varphi$は${{\hat{p}}_{2}}{{\hat{p}}_{1}}$の固有状態ではない。 したがって，量子論の立場からはEPR論文の議論は成り立たない。
まとめ
量子論とEPRの考察のどちらが正しいかは実験で決めるべきこと。量子論が正しいという見地からEPR論文の問題点は以下の2つ。
- 粒子1の位置（や運動量やスピンのz成分）を行うことによって，複数の状態の重ね合わせから特定の位置（や運動量やスピンのz成分）を選び出し，それに対して粒子2の測定を行っている。これは粒子1と粒子2の測定が独立ではなく局所実在性の仮定に反している。量子論の場合，演算子を複数の状態に作用させたと考え，特定の状態を選び出してはいない。
- EPR論文で議論されている波動関数は位置や運動量の連続測定の固有状態ではない。したがって量子論による量子もつれ粒子1の測定による粒子2の測定値の決定という議論は成り立たない。
では粒子1が上向き，粒子2が下向きという状態になる（いわゆる波束の収束）が起こる）のはいつの時点か？この考察では答えを与えていない。粒子1と粒子2はそれぞれ独立に測定を行い，それぞれの観測者は選択的観測を行っている。その独立した測定の結果の整合性を調べると量子論に基づいた連続測定が正しい答え（実験と一致）を与えるということである。
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